Question

在△ABC中，已知

tanA-tanB

tanA+tanB

=

c-b

c

，求證：B、A、C成等差數列．

Answer 1

分析：先把已知條件等號左邊的分子分母利用同角三角函數間的基本關系切化弦后，分子分母都乘以cosAcosB后，利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，右邊利用正弦定理化簡后，根據三角形的內角和定理及誘導公式，得到2cosA=1，然后在等號兩邊都乘以sinA后，利用二倍角的正弦函數公式及誘導公式化簡后，即可得到2A=B+C，得到三角成等差數列，得證．

解答：解：

tanA-tanB

tanA+tanB

=

sinA cosA - sinB cosB

sinA cosA + sinB cosB

=

sinAcosB-cosAsinB

sinAcosB+cosAsinB

=

sin(A-B)

sin(A+B)

=

c-b

c

=

sinC-sinB

sinC

，
因為sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，得到sin（A-B）=sinC-sinB，
即sinB=sin（A+B）-sin（A-B）=2cosAsinB，
得到2cosA=1，即2sinAcosA=sinA，即sin2A=sinA=sin（B+C），
由2A+B+C≠π，得到2A=B+C，
所以B，A，C成等差數列．

點評：此題考查學生靈活運用同角三角函數間的基本關系、兩角和與差的正弦函數公式以及誘導公式化簡求值，是一道證明題．學生做題時始終注意三角形的內角和為180°．