Question

【題目】(1) 若函數f(x)＝|4x－x2|＋a有4個零點，求實數a的取值范圍；

(2) 已知函數f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.

① 若函數f(x)有且僅有一個零點，求實數m的值；

若函數f(x)有兩個零點且兩個零點均比－1大，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）(－4，0)．（2）(－5，－1)．

【解析】試題分析:（1）利用函數圖像研究函數零點：先作出函數g(x)＝|4x－x2|圖像，再研究直線y＝－a與它有四個交點的條件，即得實數a的取值范圍；（2）①由二次函數得Δ＝0，解得實數m的值；②由實根分布充要條件得 ，解不等式組可得實數m的取值范圍．

試題解析：解： (1) 令f(x)＝0，得|4x－x2|＋a＝0，

即|4x－x2|＝－a.

令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a.作出g(x)，h(x)的圖象．

由圖象可知，當0＜－a＜4，即－4＜a＜0時，g(x)與h(x)的圖象有4個交點，即f(x)有4個零點．故a的取值范圍是(－4，0)．

(2) ① f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且僅有一個零點f(x)＝0有兩個相等實根Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，

∴ m＝4或m＝－1.

② 由題意，知

即

∴ －5＜m＜－1.

∴ m的取值范圍是(－5，－1)．