Question

已知函數f（x）=lnx，g(x)=

2a2

x2

（a＞0）
（Ⅰ）若設F（x）=f（x）+g（x），求F（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）若函數H(x)=f(x)+

2g(x)

圖象上任意點處的切線的斜率k≤1恒成立，求實數a的最小值；
（Ⅲ）是否存在實數m，使得函數p(x)=

1

3

x3+x2+m-

2

3

的圖象與q(x)=

3

2

f(x2)的圖象恰好有三個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）由F'（x）＞0，可求得F（x）的單調遞增區間；
（II）由于H（x）=lnx+

2a

x

，H′（x）=

1

x

-

2a

x2

≤1(x＞0)，可求得2a≥-x²+x=-(x-

1

2

)2+

1

4

，于是可求得a的取值范圍．
（Ⅲ）依題意，m=

3

2

lnx2-

1

3

x3-x2+

2

3

有三個不同的根，構造函數G（x）=

3

2

lnx2-

1

3

x3-x2+

2

3

，通過求導數，求得G（x）的極大值G（1）的值，即可得到m的范圍．

解答：解：（I）F（x）=f（x）+g（x）=lnx+

2a2

x2

（x＞0），F′（x）=

1

x

-

4a2

x3

=

x2-4a2

x3

(x＞0)
∵a＞0，由F'（x）＞0，得x＞2a，
∴F（x）的單調遞增區間為（2a，+∞）．-----------------------（3分）
（II）H（x）=f（x）+

2g(x)

=lnx+

2a

x

，H′（x）=

1

x

-

2a

x2

≤1(x＞0)，----------------------（5分）
∵2a≥-x²+x，又x²-x≤

1

4

，2a≥-

1

4

，a≥

1

8

．
所以實數a的最小值為

1

8

．--------------------------（8分）
（III） 若p（x）=

1

3

x3+x2+m-

2

3

的圖象與q（x）=

3

2

f(x2)=

3

2

lnx2的圖象恰有三個不同交點，
即

1

3

x3+x2+m-

2

3

=

3

2

lnx2有三個不同的根，
亦即m=

3

2

lnx2-

1

3

x3-x2+

2

3

有三個不同的根．---------------------（10分）
令G（x）=

3

2

lnx2-

1

3

x3-x2+

2

3

，
則G′（x）=

3

x

-x²-2x=

-(x-1)(x2+3x+3)

x

．
當x＜0時G'（x）＜0，所以G（x）單調遞減，且當x→0時，G（x）→-∞，當x→-∞時，G（x）→+∞
當0＜x＜1時G'（x）＞0；
∴G（x）單調遞增，且當x→0時，G（x）→-∞，
當x＞1時，G'（x）＜0；
∴G（x）單調遞減，
∴當x=1時，G（x）的極大值G（1）=-

2

3

．
所以，當 m＜-

2

3

時，方程m=

3

2

lnx2-

1

3

x3-x2+

2

3

有三個不同的解．--------------（14分）

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，考查函數恒成立問題，突出考查構造函數與轉化的數學思想及綜合分析與運算的能力，屬于難題．