Question

【題目】設拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點為F，準線為l，A∈C，已知以F為圓心，FA為半徑的圓F交l于B，D兩點；
（1）若∠BFD=90°，△ABD的面積為 ，求p的值及圓F的方程；
（2）若A，B，F三點在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個公共點，求坐標原點到m，n距離的比值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由對稱性知：△BFD是等腰直角△，斜邊|BD|=2p

點A到準線l的距離 ，

∵△ABD的面積S△ABD= ，

∴ = ，

解得p=2，所以F坐標為（0，1），

∴圓F的方程為x2+（y﹣1）2=8

（2）解：由題設 ，則 ，

∵A，B，F三點在同一直線m上，

又AB為圓F的直徑，故A，B關于點F對稱．

由點A，B關于點F對稱得：

得： ，直線 ， 切點

直線

坐標原點到m，n距離的比值為

【解析】（1）由對稱性知：△BFD是等腰直角△，斜邊|BD|=2p點A到準線l的距離 ，由△ABD的面積S△ABD= ，知 = ，由此能求出圓F的方程．（2）由對稱性設 ，則 點A，B關于點F對稱得： ，得： ，由此能求出坐標原點到m，n距離的比值．
【考點精析】本題主要考查了圓的標準方程的相關知識點，需要掌握圓的標準方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程才能正確解答此題．