Question

已知分別以d₁，d₂為公差的等差數列{a_n}，{b_n}滿足a₁=18，b₁₄=36．
（1）若d₁=18，且存在正整數m，使得a_m²=b_m+14-45，求證：d₂＞108；
（2）若a_k=b_k=0，且數列a₁，a₂，…，a_k，b_k+1，b_k+2，…，b₁₄的前n項和S_n滿足S₁₄=2S_k，求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，令cn=2an，dn=2bn，問不等式c_nd_n+1≤c_n+d_n是否對n∈N^*恒成立？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據等差數列的通項公式分別表示出a_m和b_m+14，代入a_m²=b_m+14-45，求得 d2=182m+

9

m

，根據均值不等式求得d₂的范圍，原式得證．
（2）根據S₁₄=2S_k得：S_k=S₁₄-S_k，再根據等差數列的求和公式，進而求得d₁和d₂，根據等差數列的通項公式進而求得a_n和b_n的通項公式．
（3）在（2）的條件下，求出c_n=2^20-2n=4^10-n，d_n=2^9n-90=512^n-10，判斷出數列{c_n}單調減；{d_n}單調增，對n分三種情況進行討論，求出（c_n-1）（d_n-1）≤0恒成立．

解答：解：（1）依題意，[18+（m-1）×18]²=36+（m+14-14）d₂-45，
即（18m）²=md₂-9，即d2=182m+

9

m

≥2

182×9

=108；
等號成立的條件為182m=

9

m

，即m=

1

6

，
∵m∈N^*，∴等號不成立，
∴原命題成立．
（2）由S₁₄=2S_k得：S_k=S₁₄-S_k，即：

18+0

2

×k=

36+0

2

×(14-k+1)，
則9k=18×（15-k），得k=10d1=

0-18

9

=-2，d2=

36-0

14-10

=9，
則a_n=-2n+20，b_n=9n-90；
（3）在（2）的條件下，cn=2an，dn=2bn，
要使c_nd_n+1≤c_n+d_n，即要滿足（c_n-1）（d_n-1）≤0，
又c_n=2^20-2n=4^10-n，d_n=2^9n-90=512^n-10，
∴數列{c_n}單調減；{d_n}單調增，
①當正整數n＜10時，c_n-1＞0，d_n-1＜0，（c_n-1）（d_n-1）＜0；
②當正整數n＞10時，c_n-1＜0，d_n-1＞0，（c_n-1）（d_n-1）＜0；
③當正整數n=10時，c_n-1=0，d_n-1=0，（c_n-1）（d_n-1）=0，
綜上所述，對n∈N₊，不等式c_nd_n+1≤c_n+d_n恒成立．

點評：解決等差數列、等比數列兩個特殊數列的有關問題時，一般利用它們的通項公式及前n項和公式列出方程組，求出基本量再解決．