Question

已知a＞0，函數(shù)f(x)=-2asin(2x+

π

6

)+2a+b，當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，-2≤f（x）≤1．
（1）求常數(shù)a，b的值；
（2）設(shè)g(x)=f(x+

π

2

)，求g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求f（x）=-2asin（2x+

π

6

）+2a+b的最值，利用-2≤f（x）≤1即可求得常數(shù)a，b的值；
（2）由（1）知，f（x）=-2sin（2x+

π

6

），于是g（x）=f（x+

π

2

）=2sin（2x+

π

6

），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得答案．

解答：解：（1）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，又a＞0，
∴-2a≤-2asin（2x+

π

6

）≤a，b≤-2asin（2x+

π

6

）+2a+b≤3a+b，
∵-2≤f（x）≤1，
∴b=-2，3a+b=1，解得a=1．
∴a=1，b=-2．
∴f（x）=-2sin（2x+

π

6

）．
（2）∵g（x）=f（x+

π

2

）=-2sin（2x+π+

π

6

）=2sin（2x+

π

6

），
∴由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z得：
kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z．
∴g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]k∈Z．

點評：本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查正弦函數(shù)的定義域與值域，考查方程思想與運算能力，屬于中檔題．