Question

已知函數f（x）=x³-ax．
（I）當a=3時，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值；
（II）已知函數g（x）=ax（|x+a|-1），記h（x）=f（x）-g（x）（x∈[0，2]），當函數h（x）的最大值為0時，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求出函數f（x）的導函數，然后求出f'（x）＞0求出函數的單調性，從而求出函數的最值；
（II）h（x）=f（x）-g（x）=x³-ax|x+a|（x∈[0，2]），討論a的正負，以及a與2的大小求出函數f（x）的最大值，當a≥2時，必有h'（x）≤0，則h（x）在[0，2]上遞減，則最大值為h（0）=0，滿足題設，當0＜a＜2時求出最大值，使之等于0，求出a即可．

解答：解：（I）∵f（x）=x³-ax，∴f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1）
∵f'（x）＞0?x＞1或x＜-1，且x∈[-2，2]∴函數f（x）在[-2，-1]上遞增，[-1，1]上遞減，[1，2]上遞增
∵f（-2）=f（1）=-2，∴f_min（x）=-2，∵f（0）=-2，而f（2）=2，∴f_max（x）=2
（II）h（x）=f（x）-g（x）=x³-ax|x+a|（x∈[0，2]），
（1）當a≤0時，h（x）=x³-ax|x+a|≥0
∵h（0）=0，且0＜x≤2時h（x）＞0顯然不符合題意
（2）當a＞0時，∵x≥0，h（x）=x³-ax²-a²x≥0
∴h'（x）=3x²-2ax-a²=（x-a）（3x+a）
∵x≥0，h'（x）＞0?x＞a
①當a≥2時，必有h'（x）≤0，∴h（x）在[0，2]上遞減，則最大值為h（0）=0，滿足題設
②當0＜a＜2時，∵h'（x）＞0?x＞a∴h（x）在[0，a]上遞減，在[a，2]上遞增
則h（x）_max=max（h（0），h（2））
∵h（0）=0只需h（2）≤0，即8-4a-2a²≤0
∴

5

-1≤a＜2
∴實數a的取值范圍[

5

-1，+∞)

點評：本題主要考查了函數的最值及其幾何意義，以及分類討論的思想，屬于中檔題．