Question

如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍，且經過點M(2,1)，平行于OM的直線l在y軸上的截距為m，直線l與橢圓相交于A，B兩個不同點．

(1)求實數m的取值范圍；

(2)證明：直線MA，MB與x軸圍成的三角形是等腰三角形．

 

Answer 1

（1）(－2,0)∪(0,2)（2）見解析

【解析】(1)設橢圓方程為 (a＞b＞0)，

由題意得∴

∴橢圓方程為＝1.

由題意可得直線l的方程為y＝x＋m(m≠0)，

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，

則點A，B的坐標是方程組的兩組解，

消去y得x2＋2mx＋2m2－4＝0.

∵Δ＝4m2－4(2m2－4)＞0，∴－2＜m＜2.

又∵m≠0，∴實數m的取值范圍為(－2,0)∪(0,2)．

(2)證明：由題意可設直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，

只需證明k1＋k2＝0即可，

由(1)得x2＋2mx＋2m2－4＝0，

∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4，

∵k1＋k2＝＝

＝? ?＝＝0， ?

∴直線MA，MB與x軸圍成的三角形是等腰三角形．