Question

已知函數f（x）=x|x+2|-2x-1
（1）用分段函數的形式表示該函數；
（2）畫出該函數的圖象；
（3）寫出函數的單調區間．

Answer 1

分析：（1）根據絕對值的定義，分x≥-2與x＜-2兩種情況加以討論，分別化簡函數的表達式，再綜上所述即可得到函數f（x）用分段函數的形式表示的式子；
（2）根據f（x）用分段函數的形式表示的式子，可得它的圖象是由兩個二次函數的圖象各取一部分拼接而成，由此結合二次函數的圖象作法，即可作出函數y=f（x）的圖象；
（3）由（2）作出的圖象加以觀察，即可寫出函數y=f（x）的單調區間．

解答：解：（1）∵當x≥-2時，f（x）=x|x+2|-2x-1=x（x+2）-2x-1=x²-1；
當x＜-2時，f（x）=x|x+2|-2x-1=x（-x-2）-2x-1=-x²-4x-1
∴函數用分段函數的形式表示為f（x）=

x2-1  (x≥-2) -x2-4x-1  (x＜-2)

…（4分）
（2）∵當x≥-2時，f（x）=x²-1，
函數圖象是拋物線y=x²-1位于直線x=-2右側部分；
當x＜-2時，f（x）=-x²-4x-1，
函數圖象是拋物線y=-x²-4x-1位于直線x=-2左側部分
∴函數y=f（x）圖象由拋物線y=x²-1位于x=-2右側部分與拋物線
y=-x²-4x-1位于x=-2左側部分拼接而成，
因此作出函數y=f（x）圖象，如圖右圖所示…（10分）
（3）由（2）所作的函數圖象，可得
函數f（x）的單調增區間是（-∞，-2）和（0，+∞）
單調減區間是（-2，0）…（14分）

點評：本題給出含有絕對值符號的函數，求作函數的圖象并寫出函數的單調區間，著重考查了絕對值的意義、函數的單調性和二次函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．