Question

已知函數f（x）=x²-4，設曲線y=f（x）在點（x_n，f（x_n））處的切線與x軸的交點為（x_n+1，0）（n∈N*），其中x₁為正實數．
（Ⅰ）用x_n表示x_n+1；
（Ⅱ）證明：對一切正整數n，x_n+1≤x_n的充要條件是x₁≥2
（Ⅲ）若x₁=4，記an=lg

xn+2

xn-2

，證明數列{a_n}成等比數列，并求數列{x_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）先對函數f（x）=x²-4進行求導，進而可得到過曲線上點（x₀，f（x₀））的切線方程，然后令y=0得到關系式x_n²+4=2x_nx_n+1，整理即可得到答案．

（2）先由x_n+1≤x_n得到x₂≤x₁，再結合（1）中的結果可得到

x1

2

+

2

x1

≤x1，最后根據x₁＞0可得到必要性的證明；
由xn+1=

xn

2

+

2

xn

用數學歸納法可證明x_n+1≤x_n對一切正整數n成立．

（3）先由xn+1=

xn

2

+

2

xn

得到xn+1+2=

(xn+2)2

2xn

和xn+1-2=

(xn-2)2

2xn

，然后兩式相除可得到

xn+1+2

xn+1-2

=(

xn+2

xn-2

)2后再兩邊取對數，求得a_n+1=2a_n，進而可知數列{a_n}成等比數列，根據等比數列的通項公式求得a_n，代入an=lg

xn+2

xn-2

即可求得數列{x_n}的通項公式．

解答：解：（Ⅰ）由題可得f′（x）=2x
所以過曲線上點（x₀，f（x₀））的切線方程為y-f（x_n）=f′（x_n）（x-x_n），
即y-（x_n-4）=2x_n（x-x_n）
令y=0，得-（x_n²-4）=2x_n（x_n+1-x_n），即x_n²+4=2x_nx_n+1
顯然x_n≠0∴xn+1=

xn

2

+

2

xn

（Ⅱ）證明：（必要性）
若對一切正整數n，x_n+1≤x_n，則x₂≤x₁，即

x1

2

+

2

x1

≤x1，而x₁＞0，∴x₁²≥4，即有x₁≥2
（充分性）若x₁≥2＞0，由xn+1=

xn

2

+

2

xn

用數學歸納法易得x_n＞0，從而xn+1=

xn

2

+

2

xn

≥2

xn 2 • 2 xn

=2(n≥1)，即x_n≥2（n≥2）
又x₁≥2∴x_n≥2（n≥2）
于是xn+1-xn=

xn

2

+

2

xn

-xn=

4-xn2

2xn

=

(2-xn)(2+xn)

2xn

≤0，
即x_n+1≤x_n對一切正整數n成立

（Ⅲ）由xn+1=

xn

2

+

2

xn

，知xn+1+2=

(xn+2)2

2xn

，同理，xn+1-2=

(xn-2)2

2xn

故

xn+1+2

xn+1-2

=(

xn+2

xn-2

)2
從而lg

xn+1+2

xn+1-2

=2lg

xn+2

xn-2

，即a_n+1=2a_n
所以，數列{a_n}成等比數列，故an=2n-1a1=2n-1lg

x1+2

x1-2

=2n-1lg3，
即lg

xn+2

xn-2

=2n-1lg3，從而

xn+2

xn-2

=32n-1
所以xn=

2(32n-1+1)

32n-1-1

．

點評：本題綜合考查數列、函數、不等式、導數應用等知識，以及推理論證、計算及解決問題的能力．