Question

數列{}的前n項和為，．

（Ⅰ）設，證明：數列是等比數列；

（Ⅱ）求數列的前項和；

（Ⅲ）若，數列的前項和，證明：．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）詳見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ） 由，令可求，時，利用可得與之間的遞推關系，構造等可證等比數列；（Ⅱ）  由（Ⅰ）可求，利用錯位相減法可求數列的和；（Ⅲ）由（Ⅱ）進而可求，利用（）進行不等式放縮，求數列{}的和即可求證.

試題解析：（Ⅰ）因為，

所以 ① 當時，，則， （1分）

② 當時，， （2分）

所以，即，

所以，而， （3分）

所以數列是首項為，公比為的等比數列，所以． （4分）

（Ⅱ）由(1)得．

所以 ①，

②， （5分）

②-①得：， （7分）

. （9分）

（Ⅲ）由(Ⅰ)知 （10分）

（1）當時，成立； （11分）

（2）當時，，， （13分）

所以. （14分）

（本題放縮方法不唯一,請酌情給分）

考點： 1.遞推關系；2.等比數列的概念；3.數列求和和不等式放縮.