Question

如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=a（0＜a＜

2

）
（1）求MN的長；
（2）a為何值時，MN的長最小；
（3）當MN的長最小時，求面MNA與面MNB所成二面角α的大小．

Answer 1

分析：（1）作MP∥AB交BC于點，NQ∥AB交BE于點Q，連接PQ，易證MNQP是平行四邊形，根據MN=PQ=

(1-CP)2+BQ2

即可求出MN的長；
（2）根據（1）將MN 關于a的函數進行配方即可求出MN的最小值，注意取最小值時a的取值；
（3）取MN的中點G，連接AG、BG，根據二面角的平面角的定義可知∠AGB即為二面角的平面角，在三角形AGB中利用余弦定理求出此角的余弦值，結合圖形可二面角與之互補．

解答：解（1）作MP∥AB交BC于點，NQ∥AB交BE于點Q，連接PQ，依題意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四邊形．
∴MN=PQ
由已知CM=BN=a，CB=AB=BE=1
∴AC=BF=

2

，CP=BQ=

2

2

a
MN=PQ=

(1-CP)2+BQ2

=
=

(1- a 2 )2+( a 2 )2

=

(a- 2 2 )2+ 1 2

(0＜a＜

2

)
（2）由（1）
MN=PQ=

(1-CP)2+BQ2

=
=

(1- a 2 )2+( a 2 )2

=

(a- 2 2 )2+ 1 2

(0＜a＜

2

)
所以，當時，MN=

2

2

即當M、N分別為AC、BF的中點時，MN的長最小，最小值為

2

2

（3）取MN的中點G，連接AG、BG，
∵AM=AN，BM=BN，G為的中點
∴AG⊥MN，BG⊥MN，即∠AGB即為二面角的平面角α
又AG=BG=

6

4

，所以，由余弦定理有cosα=

( 6 4 )2+( 6 4 )2-1

2• 6 4 • 6 4

=-

1

3

故所求二面角為：α=π-arccos

1

3

點評：本題主要考查了與二面角有關的立體幾何綜合題，涉及到的知識點比較多，知識性技巧性都很強．