Question

17、已知a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，abc＞0，求證：a＞0，b＞0，c＞0．

Answer 1

分析：本題是一個全部性問題，要證的結論與條件之間的聯系不明顯，直接由條件推出結論的線索不夠清晰．于是考慮采用反證法．假設a，b，c不全是正數，這時需要逐個討論a，b，c不是正數的情形．但注意到條件的特點（任意交換a，b，c的位置不改變命題的條件），我們只要討論其中一個數（例如a），其他兩個數（例如b，c）與這種情形類似．

解答：•解：假設a，b，c不全是正數，即其中至少有一個不是正數．
不妨先設a≤0．下面分a=0和a＜0兩種情況討論．
如果a=0，則abc=0，與abc＞0矛盾，所以a=0不可能．
如果a＜0，那么由abc＞0可得
bc＜0．
又因為a+b+c＞0，所以b+c=-a＞0．
于是ab+bc+ca=a（b+c）+bc＜0，
這和已知ab+bc+ca＞0相矛盾．
因此，a＜0也不可能．
綜上所述，a＞0．
同理可證b＞0，c＞0．
所以原命題成立．

點評：當一個命題的結論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現時，宜用反證法來證．反證法關鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是①與已知條件矛盾，②與假設矛盾，③與定義、公理、定理矛盾，④與事實矛盾等方面．反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具，是數學證明中的一件有力武器．