Question

已知函數f(x)=

1

2

x2-3x-

3

4

．定義函數f（x）與實數m的一種符號運算為m?f（x）=f（x）•[f（x+m）-f（x）]．
（1）求使函數值f（x）大于0的x的取值范圍；
（2）若g(x)=4?f(x)+

7

2

x2，求g（x）在區間[0，4]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）利用數軸標根法即可求解f（x）大于0的x的取值范圍．
（2）利用函數f（x）與實數m的一種符號運算的定義再化簡可獲得g（x）=2x3-

21

2

x2+9x+3分析此函數的特征需利用導數判斷其在區間[0，4]上單調性然后利用單調性求最值．

解答：解：（1）由f（x）＞0，得

1

2

x2-3x-

3

4

＞0
即2x²-12x-3＞0，解得x＜3-

42

2

或x＞3+

42

2

．
所以，x的取值范圍為 (-∞，3-

42

2

)∪(3+

42

2

，+∞)
（2）g(x)=4?f(x)+

7

2

x2=(

1

2

x2-3x-

3

4

)•{[

1

2

(x+4)2-3(x+4)-

3

4

]-(

1

2

x2-3x-

3

4

)}+

7

2

x2
=(

1

2

x2-3x-

3

4

)•(

1

2

×8x+

1

2

×16-3×4)+

7

2

x2
=(

1

2

x2-3x-

3

4

)•(4x-4)+

7

2

x2
=2x3-

21

2

x2+9x+3
對g（x）求導，得g'（x）=6x²-21x+9=3（x-3）（2x-1）
令g'（x）=0，解得x=

1

2

或x=3
當x變化時，g'（x）、g（x）的變化情況如下表：

x	0	(0， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，3)	3	（3，4）	4
g'（x）		+	0	-	0	+
g（x）	3	↗	41 8	↘	- 21 2	↗	-1

所以，g（x）在區間[0，4]上的最大值為

41

8

，最小值為-

21

2

點評：本題主要考查了里利用數軸標根法解一元二次不等式和導數判斷函數的單調性進而求函數的最值．第一問屬常規題目較簡單而第二問要判斷導函數g'（x）=6x²-21x+9=3（x-3）（2x-1）在區間[0，4]上的正負進而判斷函數的單調性這一步十分重要！