Question

（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD, ，，E是BD的中點．
  （1）求證：EC//平面APD；
（2）求BP與平面ABCD所成角的正切值；
（3） 求二面角P-AB-D的大小．

Answer 1

解法一：（Ⅰ）如圖，取PA中點F，連結EF、FD，
∵E是BP的中點，
∵EF//AB且，又∵
∴EFDC∴四邊形EFDC是平行四邊形，故得EC//FD
又∵EC平面PAD，FD平面PAD,∴EC//平面ADE．    …………………4分
（Ⅱ）取AD中點H，連結PH，因為PA=PD，所以PH⊥AD
∵平面PAD⊥平面ABCD于AD     ∴PH⊥面ABCD
∴HB是PB在平面ABCD內的射影   ∴∠PBH是PB與平面ABCD所成角
∵四邊形ABCD中， 
∴四邊形ABCD是直角梯形  
設AB=2a，則，在中,易得,
，又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴在中，．   …………………8分
（III）在平面ABCD內過點H作AB的垂線交AB于G點，連結PG，則HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，所以∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB="2a"
，又∴
在中，
∴二面角P-AB-D的大小為．   …………………12分
解法二：   
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）設AB=2a，同解法一中的（Ⅱ）可得
如圖，以D點為原點，DA所在直線為x軸，DB所在直線為y軸，過D點且垂直于平面ABCD的直線為z軸建立空間直角坐標系．則，，
則，
平面ABCD的一個法向量為m=（0，0，1），
所以，
可得PB與平面ABCD所成角的正弦值為
所以 PB與平面ABCD所成角的正切值為．    …………………8分
（III）易知，則，設平面PAB的一個法向量為，則   ，
令，可得 得，
所以二面角P-AB-D的大小為．     …………………12分