Question

集合A={x∈R|y=lgx}，B={x∈R|2x²-2（1-a）x+a（1-a）＞0}，D=A∩B．
（I）當a=2時，求集合D（用區間表示）；
（II）當0＜a＜

1

2

時，求集合D（用區間表示）；
（III）在（II）的條件下，求函數f（x）=4x³-3（1+2a）x²+6ax在D內的極值點．

Answer 1

分析：（I）根據對數函數的性質得出A={x|x＞0}，當a=2時 解不等式 x²+x-1＞0得出集合B，再求出它們的交集即可；
（II）不等式 2x²-2（1-a）x+a（1-a）＞0，令h（x）=2x²-2（1-a）x+a（1-a），先計算△=4（a-1）（3a-1）．下面對a進行分類討論：①當0＜a＜

1

3

時△＞0；②當a=

1

3

時，△=0，③當

1

3

＜a＜

1

2

時，△＜0，分別求出集合D即可；
（III）先求出函數f（x）的導數f'（x）=12x²-6（1+2a）x+6a，再利用導數結合對字母a分類討論研究原函數的單調性即可得出函數的極值點．

解答：解：（I）A={x|x＞0}
當a=2時 B={x∈R|x²+x-1＞0}
解不等式 x²+x-1＞0得 x＜

-1- 5

2

或 x＞

-1+ 5

2

，
∴B={x|x＜

-1- 5

2

，或x＞

-1+ 5

2

}
∴A∩B=(

-1+ 5

2

，+∞)．
（II）不等式 2x²-2（1-a）x+a（1-a）＞0，
令h（x）=2x²-2（1-a）x+a（1-a），
△=[-2（1-a）]²-4×2×a（1-a）
=4（1-a）²-8（1-a）a
=4（1-a）（1-a-2a）
=4（1-a）（1-3a）
=4（a-1）（3a-1）
①當0＜a＜

1

3

時△＞0，此時方程h（x）=0有兩個不同的解x1=

2(1-a)- 4(3a-1)(a-1)

4

=

(1-a)- (3a-1)(a-1)

2

x2=

2(1-a)+ 4(3a-1)(a-1)

4

=

(1-a)+ (3a-1)(a-1)

2

，
∴B={x|x＜x₁，或x＞x₂}，∵x₁+x₂=1-a，∵0＜a＜

1

3

，
∴x₁+x₂=1-a＞0，
x1•x2=

(1-a)2-(3a-1)(a-1)

4

=

(a-1)(a-1-3a+1)

4

=

(a-1)(-2a)

4

=

a(1-a)

2

＞0
∴x₁＞0且x₂＞0，
∴D=A∩B=（0，x）∪（x₂+∞）=(0，

(1-a)- (3a-1)(a-1)

2

)∪(

(1-a)+ (3a-1)(a-1)

2

，+∞)
②當a=

1

3

時△=0此時方程h（x）=0有唯一解x1=x2=

1

3

此時B=(-∞，

1

3

)∪(

1

3

，+∞)于是D=A∩B=(0，

1

3

)∪(

1

3

，+∞)
③當

1

3

＜a＜

1

2

時，△＜0，對?x∈R，h（x）＞0，∴B=R，∴D=A∩B=A=（0，+∞）
（III）∵f'（x）=12x²-6（1+2a）x+6a

=6[2x2-(1+2a)x+a] =6(2x-1)(x-a)

令f′(x)=0得x1=

1

2

，x2=a，
∵0＜a＜

1

2

，∴當x＜a時f'（x）＞0，∴f（x）在（-∞，a）上單調遞增
當a＜x＜

1

2

時f′(x)＜0∴f(x)在(a，

1

2

)上單調遞減
當x＞

1

2

時f′(x)＞0∴f(x)在(

1

2

，+∞)上單調遞增
①當

1

3

＜a＜

1

2

時  D=（0，+∞），
當0＜x＜a時f'（x）＞0∴f（x）在（0，a）單調遞增，
當a＜x＜

1

2

時f′(x)＞0∴f(x)在(

1

2

，+∞)上單調遞增，
當x＞

1

2

時f′(x)＞0∴f(x)在(

1

2

，+∞)上單調遞增∴f(x)有極小值點為

1

2

，極大值點為a．
②當a=

1

3

時D=(0，

1

，3

)∪(

1

3

，+∞)
此時f(x)在D上有極小值點

1

2

③0＜a＜

1

3

時，D=（0，x₁）∪（x₂，+∞），
x1=

(1-a)- (3a-1)(a-1)

2

=

(1-a)- 3a2-4a+1

2

，

∵3a2-4a+1-(9a2-6a+1) =-6a2+2a =-2a(3a-1)=2a(1-3a)＞0

∴x1＜ (1-a)- 9a2-6a+1 2 = 1-a-(3a-1) 2 = 1-a-(1-3a) 2

=

2a

2

=a
當1-

2

2

＜a＜

1

3

時x2=

(1-a)+ (3a-1)(a-1)

2

＜

1-a+a

2

=

1

2

此時 

1

2

∈(x2，+∞)，
又∵x2=

(1-a)+ (3a-1)(a-1)

2

＞

1-a+ 9a2-6a+1

2

=

2-4a

2

=1-2a
又∵（1-2a）-a=1-3a＞0，∴x₂＞1-2a＞a，∴a∉（x₂，+∞），此時f(x)在D上有極小值點

1

2

當0＜a＜1-

2

2

時，x2=

1-a+ (3a-1)(a-1)

2

＞

1-a+a

2

=

1

2

，此時f（x）在D上沒有極值點．
綜上所述：
當

1

3

＜a＜

1

2

時，f(x)有極小值點為

1

2

，極大值點為a；
當a=

1

3

時，時f(x)在D上有極小值點

1

2

；
當0＜a＜1-

2

2

時，f（x）在D上沒有極值點；
當1-

2

2

＜a＜

1

3

時，f(x)在D上有極小值點

1

2

﹒

點評：本題考查不等式的解法，導數知識的運用，考查交集及其運算，解題的關鍵是根據導數確定函數的極值，屬于中檔題．