Question

設f(x)是定義域為(-∞，0)∪(0，+∞)的奇函數，且它在區間(-∞，0)上單調增。
（1）用定義證明：f(x)在(0，+∞)上的單調性；
（2）若mn＜0且m+n＜0，試判斷f(m)+f(n)的符號；
（3）若f(1)=0，解關于x的不等式f[log_a(x-1)+1]＞0。

Answer 1

（1）證明：設，且，
則，且，
由已知函數在(-∞，0)上單調遞增，得：，
又函數是奇函數，有，即，
得到：，所以函數在(0，+∞)上遞增函數。
（2）解：不妨設m＞0，n＜0，
則由已知m+n＜00＜m＜-n，
已知函數在(0，+∞) 上遞增，
故有：f(m)＜f(-n)=-f(n)，得f(m)+f(n)＜0。
（3）由及函數在(-∞，0)和(0，+∞)上遞增，
可知：或，
即或，
當a＞1時，x＞2或；
當0＜a＜1時，1＜x＜2或；
綜上所述：當a＞1時，不等式的解集為{x| x＞2或}；
當0＜a＜1時，不等式的解集為{x|1＜x＜2或}。