Question

有冪函數(shù)(a¹ 0)若干個(gè)，每個(gè)函數(shù)至少具有下面三條性質(zhì)之一：

(1)是奇函數(shù)；(2)是(－¥ ，＋¥ )內(nèi)的增函數(shù)；(3)函數(shù)的圖像經(jīng)過原點(diǎn)．又已知同時(shí)具有性質(zhì)(1)的共有15個(gè)，具有性質(zhì)(2)的共有12個(gè)，具有性質(zhì)(3)的共有18個(gè)．試問，這些冪函數(shù)共有幾個(gè)？其中冪指數(shù)小于零的有幾個(gè)？

Answer 1

答案：21,3
解析：

解：由冪數(shù)的性質(zhì)知，在(－¥ ，＋¥ )內(nèi)的增函數(shù)一定是奇函數(shù)，且圖像一定過原點(diǎn)． 又若一個(gè)冪函數(shù)是奇函數(shù)，且其圖像又經(jīng)過原點(diǎn)，則這個(gè)函數(shù)一定是在(－¥ ，＋¥ )上的增函數(shù)． 設(shè)定些冪函數(shù)中分別具備性質(zhì)(1)(2)(3)的函數(shù)分別構(gòu)成集合A、B、C，而冪指數(shù)小于零的構(gòu)成集合D，依題意得 card(A)=15，card(B)=12，card(C)=18， 又BÍ A，BÍ C，A∩CÍ B，BÍ A∩C， ∴A∩C=B． 則card(A∪B∪C)=card(A∪C)=card(A)＋card(C)－card(A∩C)=card(A)＋card(C)－card(B)=15＋18－12=21． 即共有冪函數(shù)21個(gè)． 又冪指數(shù)小于零的冪函數(shù)圖像一定不經(jīng)過原點(diǎn)，反之亦然，故其中冪指數(shù)小于零的函數(shù)有21－18=3個(gè)．