Question

已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線L：mx-y+1-m=0
（1）求證：對(duì)m∈R，直線L與圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）設(shè)直線L與圓C交于點(diǎn)A、B，若|AB|=

17

，求直線L的傾斜角；
（3）設(shè)直線L與圓C交于A、B，若定點(diǎn)P（1，1）滿足2

AP

=

PB

，求此時(shí)直線L的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線L：mx-y+1-m=0 過定點(diǎn)P（1，1），再根據(jù)點(diǎn)P在圓C：x²+（y-1）²=5的內(nèi)部，可得直線L與圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)．
（3）設(shè)點(diǎn)A（x₁，mx₁-m+1），點(diǎn)B（x₂，mx₂-m+1 ），由題意2

AP

=

PB

可得2x₁+x₂=3． ①再把直線方程 y-1=m（x-1）代入圓C，化簡(jiǎn)可得x1+x 2 = 

2m2

1+m2

 ②，由①②解得點(diǎn)A的坐標(biāo)，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入圓C的方程求得m的值，從而求得直線L的方程．

解答：解：（1）證明：直線L：mx-y+1-m=0 即 y-1=m（x-1），故直線過定點(diǎn)P（1，1），
而1²+（1-0）²=2＜5，故點(diǎn)P在圓C：x²+（y-1）²=5的內(nèi)部，故直線L與圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)．
（2）由于半徑r=

5

，弦心距d=

r2 -( AB 2 )2

=

3

2

，
再由點(diǎn)到直線的距離公式可得 d=

|0-1+1-m|

m2+1

，∴

3

2

=

|0-1+1-m|

m2+1

，
解得 m=±

3

．
故直線的斜率等于±

3

，故直線的傾斜角等于

π

3

 或

2π

3

．
（3）設(shè)點(diǎn)A（x₁，mx₁-m+1），點(diǎn)B（x₂，mx₂-m+1 ），由題意2

AP

=

PB

 可得 2（1-x₁，-mx₁+m ）=（x₂-1，mx₂-m ），
∴2-2x₁=x₂-1，即 2x₁+x₂=3． ①
再把直線方程 y-1=m（x-1）代入圓C：x²+（y-1）²=5，化簡(jiǎn)可得 （1+m²）x²-2m²x+m²-5=0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得 x1+x 2 = 

2m2

1+m2

  ②．
由①②解得 x₁=

3+m2

1+m2

，故點(diǎn)A的坐標(biāo)為 （

3+m2

1+m2

，

1+2m+m2

1+m2

）．
把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入圓C的方程可得 m²=1，故 m=±1，故直線L的方程為 x-y=0，或x+y-2=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，屬于中檔題．