Question

若直線(xiàn)y=kx+1與曲線(xiàn)y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|有四個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值集合是（　　）

• A、{0，-

  1

  8

  ，

  1

  8

  }
• B、[-

  1

  8

  ，

  1

  8

  ]
• C、(-

  1

  8

  ，

  1

  8

  )
• D、{-

  1

  8

  ，

  1

  8

  }

Answer 1

分析：令t=x-

1

x

=

x2-1

x

=

(x-1)(x+1)

x

，通過(guò)分類(lèi)討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，得到分段函數(shù)表達(dá)式，作出其圖象即可得到答案

解答：解：t=x-

1

x

=

x2-1

x

=

(x-1)(x+1)

x

，
①若x≤-1，t≤0，y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=（-x-

1

x

）-（

1

x

-x）=-

2

x

；
②若-1＜x＜0，t＞0，y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=（-x-

1

x

）-（x-

1

x

）=-2x；
③若0＜x＜1，t＜0，則y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=（x+

1

x

）-（

1

x

-x）=2x； 
④若x≥1，t≥0，則曲線(xiàn)y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=（x+

1

x

）-（x-

1

x

）=

2

x

．
∴y=

- 2 x ，x≤-1 -2x，-1＜x＜0 2x，0＜x＜1 2 x ，x≥1

，作圖如右：
由于直線(xiàn)y=kx+1經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（0，1），當(dāng)過(guò)A點(diǎn)的直線(xiàn)m與曲線(xiàn)y=-

2

x

相切時(shí)，直線(xiàn)m與曲線(xiàn)y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|有四個(gè)公共點(diǎn)，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為：（x₀，y₀），則k=（-

2

x

）′|x=x₀=

2

x02

，
∴y₀=-

2

x0

=kx₀+1=

2

x02

•x₀+1，解得，x₀=-4，
∴k=

2

x02

=

1

8

；
同理，可得當(dāng)直線(xiàn)n與曲線(xiàn)y=

2

x

相切時(shí)，直線(xiàn)n與曲線(xiàn)y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|有四個(gè)公共點(diǎn)，可求得直線(xiàn)n的斜率為k′=-

1

8

；
當(dāng)過(guò)A點(diǎn)的直線(xiàn)l∥x軸，即其斜率為0時(shí)，直線(xiàn)l與曲線(xiàn)y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|有四個(gè)公共點(diǎn)；
綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍是{

1

8

，0，-

1

8

}．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶絕對(duì)值的函數(shù)，關(guān)鍵在于去絕對(duì)值符號(hào)，難點(diǎn)在于分類(lèi)討論去絕對(duì)值符號(hào)，考查作圖能力，屬于難題．