Question

【題目】如圖示：半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上的一點，OA=2，B為半圓上任意一
點，以AB為一邊作等邊三角形ABC．則四邊形OACB的面積最大值是 ．

Answer 1

【答案】2+
【解析】解：設∠AOB=α，在△AOB中，由余弦定理得：AB2=12+22﹣2×1×2cosα=5﹣4cosα，
所以四邊形OACB的面積為：
S=S△AOB+S△ABC
= OAOBsinα+ AB2
= ×2×1×sinα+ （5﹣4cosα）
=sinα﹣ cosα+
=2sin（α﹣ ）+ ，
∵0＜α＜π，
∴當α﹣ = ，解得α= π，
即∠AOB= 時，四邊形OACB面積取得最大值，最大為2+ ．
【考點精析】掌握余弦定理的定義是解答本題的根本，需要知道余弦定理:;;．