Question

已知數列的首項其中，令集合.
（Ⅰ）若是數列中首次為1的項，請寫出所有這樣數列的前三項；
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）當時，求集合中元素個數的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）27,9,3；8,9,3；6,2,3..（Ⅱ）見解析. （Ⅲ）集合重元素個數的最大值為21.

試題分析：（Ⅰ）依次代入寫出27,9,3；8,9,3；6,2,3.
（Ⅱ）根據及須討論被3除余1，，被3除余2,被3除余0，等三種情況.
（Ⅲ）注意由已知遞推關系推得數列滿足：
當時，總有成立，其中.
因此應注意討論當時，數列中大于3的各項：
按逆序排列各項，構成的數列記為，由（Ⅰ）可得或9，
由（Ⅱ）的證明過程即可知數列的項滿足：
，且當是3的倍數時，若使最小，需使，
滿足最小的數列中，或7，且，
得到數列是首項為或的公比為3的等比數列，應用等比數列的通項公式即可得出結論.
解答本題的關鍵是注意“轉化”成等比數列問題.
試題解析：（Ⅰ）27,9,3；8,9,3；6,2,3.                                      3分
（Ⅱ）若被3除余1，則由已知可得,；
若被3除余2,則由已知可得,,；
若被3除余0，則由已知可得,；
所以，
所以
所以，對于數列中的任意一項，“若，則”.
因為，所以.
所以數列中必存在某一項（否則會與上述結論矛盾！）
若,則；若,則,若,則,
由遞推關系易得.                                  8分
（Ⅲ）集合中元素個數的最大值為21.
由已知遞推關系可推得數列滿足：
當時，總有成立，其中.
下面考慮當時，數列中大于3的各項：
按逆序排列各項，構成的數列記為，由（I）可得或9，
由（Ⅱ）的證明過程可知數列的項滿足：
，且當是3的倍數時，若使最小，需使，
所以，滿足最小的數列中，或7，且，
所以，所以數列是首項為或的公比為3的等比數列，
所以或，即或，
因為，所以，當時，的最大值是6，
所以，所以集合重元素個數的最大值為21.        13分