Question

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)一切，點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上
（1）求歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式（不必證明）；
（2）將數(shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（），，，；，，，；，…..，
分別計(jì)算各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來括號(hào)的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為，
求的值；
（3）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)積，若不等式對(duì)一切都成立，其中，求的取值范圍

Answer 1

（1);(2)2010;(3)

解析試題分析：(1)根據(jù)題意求處前幾項(xiàng)，利用歸納推理猜想通項(xiàng)公式；(2)觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律,可得：，是第25組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和；(3)將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值進(jìn)行求解.
規(guī)律總結(jié)：1.歸納推理是合情推理的一種，對(duì)數(shù)學(xué)定理、結(jié)論的求解起到非常重要的作用；此類題型的關(guān)鍵是通過已知的項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的規(guī)律與聯(lián)系，進(jìn)而提出猜想；2.求序號(hào)較大的項(xiàng)時(shí)，往往要探索是否具有周期性；3.對(duì)于不等式的恒成立問題，主要思路是將所求參數(shù)進(jìn)行分離，將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.
試題解析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，
故，所以．
令，得，所以；
令，得，所以；
令，得，所以．
由此猜想：
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ae/5/nqsu3.png" style="vertical-align:middle;" />（），所以數(shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循環(huán)記為一組．由于每一個(gè)循環(huán)含有4個(gè)括號(hào)， 故 是第25組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和．由分組規(guī)律知，由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第1個(gè)數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為20. 同理，由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第2個(gè)數(shù)、所有第3個(gè)數(shù)、所有第4個(gè)數(shù)分別組成的數(shù)列也都是等差數(shù)列，且公差均為20. 故各組第4個(gè)括號(hào)中各數(shù)之和構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為80. 注意到第一組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和是68，
所以 ．又=22，所以=2010.
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/62/6/hcaac3.png" style="vertical-align:middle;" />，故，
所以．
又，
故對(duì)一切都成立，就是
對(duì)一切都成立
設(shè)，則只需即可．
由于，
所以，故是單調(diào)遞減，于是．
令，
即 ，解得，或．
綜上所述，使得所給不等式對(duì)一切都成立的實(shí)數(shù)的取值范圍是．
考點(diǎn)：1.歸納推理；2.等差數(shù)列；3.函數(shù)的單調(diào)性