Question

一青蛙從點A₀（x₀，y₀）開始依次水平向右和豎直向上跳動，其落點坐標依次是A_i（x_i，y_i）（i∈N^*），（如圖所示，A₀（x₀，y₀）坐標以已知條件為準），S_n表示青蛙從點A₀到點A_n所經過的路程．
（1）若點A₀（x₀，y₀）為拋物線y²=2px（p＞0）準線上一點，點A₁，A₂均在該拋物線上，并且直線A₁A₂經過該拋物線的焦點，證明S₂=3p．
（2）若點A_n（x_n，y_n）要么落在y=x所表示的曲線上，要么落在y=x²所表示的曲線上，并且A0(

1

2

，

1

2

)，試寫出

lim

n→+∞

Sn（不需證明）；
（3）若點A_n（x_n，y_n）要么落在y=2

1+8x

-1所表示的曲線上，要么落在y=2

1+8x

+1所表示的曲線上，并且A₀（0，4），求S_n的表達式．

Answer 1

分析：（1）由于點A₀（x₀，y₀）為拋物線y²=2px（p＞0）準線上一點，可知A₀（-

p

2

，y0），由于青蛙依次向右向上跳動，直線A₁A₂經過該拋物線的焦點，所以A₁（

p

2

，y0），A₂（

p

2

，-y0），由拋物線定義可證；
（2）根據題意可得x_2n+1=

x2n-1

，x2n=x2n-1，y2n=y2n+1=x2n-1(n∈N*），由于青蛙從點A₀（x₀，y₀）開始依次水平向右和豎直向上跳動，所以可知隨著n的增大，點A_n無限接近點（1，1），進而可得橫向路程之和無限接近1-

1

2

=

1

2

，縱向路程之和無限接近1-

1

2

=

1

2

，故問題得解；
（3）由題意知A₁（1，2²），A₂（1，2⁴），A₃（3，2⁴），A₄（3，2⁶），A₅（6，2⁶），A₆（6，2⁸），…
其中A₁（1，2²），A₃（3，2⁴），A₅（6，2⁶），A₇（10，2⁸），…A₂（1，2⁴），A₄（3，2⁶），A₆（6，2⁸），A₈（10，2¹⁰）…觀察規律可知：下標為奇數的點的縱坐標為首項為2²，公比為4的等比數列．相鄰橫坐標之差為首項為2，公差為1的等差數列．下標為偶數的點也有此規律．再分類求和即可．

解答：解：（1）設A₀（-

p

2

，y0），由于青蛙依次向右向上跳動，
所以A₁（

p

2

，y0），A₂（

p

2

，-y0），由拋物線定義知：S₂=3p…4分
（2）依題意，x_2n+1=

x2n-1

，x2n=x2n-1，y2n=y2n+1=x2n-1(n∈N*）

lim

n→∞

Sn=|A0A1|+|A1A2|+|A2A3|+|A3A4|+…+|A2n-2A2n-1|+|A2n-1A2n|+…=（x₁-x₀）+（y₂-y₁）+（x₃-x₂）+（y₄-y₃）+（x₅-x₄）+…+（x_2n-1-x_2n）+（y_2n-y_2n-1）+…=2（x₁-x₀）+2（x₃-x₂）+2（x₅-x₄）+…+2（x_2n-1-x_2n）+…
隨著n的增大，點A_n無限接近點（1，1）…6分
橫向路程之和無限接近1-

1

2

=

1

2

，縱向路程之和無限接近1-

1

2

=

1

2

…8分
所以 

lim

n→+∞

Sn=

1

2

+

1

2

=1…10分
（3）由題意知A₁（1，2²），A₂（1，2⁴），A₃（3，2⁴），A₄（3，2⁶），A₅（6，2⁶），A₆（6，2⁸），…
其中A₁（1，2²），A₃（3，2⁴），A₅（6，2⁶），A₇（10，2⁸），…A₂（1，2⁴），A₄（3，2⁶），A₆（6，2⁸），A₈（10，2¹⁰）…
觀察規律可知：下標為奇數的點的縱坐標為首項為2²，公比為4的等比數列．相鄰橫坐標之差為首項為2，公差為1的等差數列．下標為偶數的點也有此規律．12分
所以，當n為偶數時，x_n=

n2

8

+

n

4

，yn=2n+2
當n為奇數時，x_n=

n2+4n+3

8

，yn=2n+1
當n為偶數時，S_n=（x_n+y_n）-（x₀+y₀）=（

n2

8

+

n

4

+2n+2）-4
當n為奇數時，S_n=（x_n+y_n）-（x₀+y₀）=（

n2+4n+3

8

+2n+1）-4…16分
所以，S_n=

( n2+4n+3 8 +2n+1)-4(n為奇數) ( n2 8 + n 4 +2n+2)-4(n為偶數)

…18分．

點評：本題的考點是圓錐曲線的綜合，主要考查數列與圓錐曲線的結合，考查分類討論思想，難度較大．關鍵是搞清運動過程中坐標之間的關系，挖掘問題的本題，從而使問題得解．