Question

【題目】已知函數（為實數）．

（1）當時，求函數的圖象在點處的切線方程；

（2）設函數（其中為常數），若函數在區間上不存在極值，且存在滿

足，求的取值范圍；

（3）已知，求證：．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析.

【解析】

試題分析：(1)借助題設條件運用導數的幾何意義求解；(2)借助題設運用分類整合思想及導數的知識求解；(3)依據題設運用導數和對數函數的性質及運算法則推證.

（1）當時，，則，

∴函數的圖象在點處的切線方程為：，即；

（2）解：，由，

由于函數在區間上不存在極值，所以，

由于存在滿足，所以，對于函數，對稱軸，

①當，即時，，

由，結合或可得：；

②當，即時，，

由，結合可知：不存在；

③當，即時，；

由，結合可知：，綜上可知，的取值范圍是．

（3）證明：當時，，

當時，，單調遞增；

當時，單調遞減，

∴在處取得最大值，

即，∴，令，則，即，

∴

，

故．