Question

（選修4-1幾何證明選講）
如圖，D，E分別是AB，AC邊上的點，且不與頂點重合，已知AE=m，AC=n，AD，AB為方程x²-14x+mn=0的兩根
（1）證明：C，B，D，E四點共圓；
（2）若∠A=90°，m=4，n=6，求C，B，D，E四點所在圓的半徑．

Answer 1

分析：（I）根據圓內接四邊形的判定定理，若C，B，D，E，須證∠ADE=∠ACB（外角等于相鄰內角的對角），由已知證明△ADE∽△ACB后，根據對應角相等得到答案．
（II）將m=4，n=6，代入可求出AD，AB，取CE的中點G，DB的中點F，分別過G，F作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點，連接DH．解直角三角形DFH可得半徑

解答：證明：（I）連接DE，根據題意在△ADE和△ACB中，
AD×AB=mn=AE×AC
即

AD

AC

=

AE

AB

．又∠DAE=∠CAB，
從而△ADE∽△ACB  
因此∠ADE=∠ACB
所以C，B，D，E四點共圓．
（Ⅱ）m=4，n=6時，方程x²-14x+mn=0的兩根為x₁=2，x₂=12．
故  AD=2，AB=12．
取CE的中點G，DB的中點F，分別過G，F作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點，連接DH．
因為C，B，D，E四點共圓，
所以C，B，D，E四點所在圓的圓心為H，半徑為DH．
由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．
∴HF=AG=5，DF=

1

2

（12-2）=5．
故C，B，D，E四點所在圓的半徑為5

2

點評：本題考查的知識點是相似三角形的判定，圓內接四邊形的判定定理，圓半徑的求法，熟練掌握圓內接四邊形的判定定理，是解答的關鍵．