Question

【題目】如圖1，已知直角梯形ABCD中，，AB//DC，AB⊥AD，E為CD的中點，沿AE把△DAE折起到△PAE的位置（D折后變為P），使得PB=2，如圖2．

（Ⅰ）求證：平面PAE⊥平面ABCE；

（Ⅱ）求點B到平面PCE的距離．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：取的中點，連接，，，可知，為等腰直角三角形，證得，，再由勾股定理證得，即可證明 利用等體積法，即可求點到平面的距離

解析：（Ⅰ）如圖，取AE的中點O，連接PO，OB，BE．由于在平面圖形中，如題圖1，連接BD，BE，易知四邊形ABED為正方形， ∴在立體圖形中，△PAE，△BAE為等腰直角三角形，

∴PO⊥AE，OB⊥AE，PO=OB=，

∵PB=2，∴，

∴PO⊥OB

又，∴平面PO⊥平面ABCE，

∵PO平面PAE，∴平面PAE⊥平面ABCD

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，PO⊥AE，OB⊥AE，，故AE⊥平面POB．

∵PB平面POB，∴AE⊥PB，又BC//AE，∴BC⊥PB．

在Rt△PBC中，

在△PEC中，PE=CE=2，

∴

設點B到平面PCE的距離為d，由，

得