Question

在直角坐標系中，角φ、2x的終邊分別與單位圓（以原點O為圓心）交于A、B兩點，函數f(x)=

OA

 • 

OB

，若f(x)≤f(

π

6

)對x∈R恒成立．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）的對稱軸與單調遞減區間．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積公式，結合f(x)≤f(

π

6

)對x∈R恒成立，確定函數的解析式；
（2）利用余弦函數的性質，即可求函數f（x）的對稱軸與單調遞減區間．

解答：解：（1）∵角φ、2x的終邊分別與單位圓（以原點O為圓心）交于A、B兩點，
∴

OA

=（cosφ，sinφ），

OB

=（cos2x，sin2x）
∴f(x)=

OA

 • 

OB

=cosφcos2x+sinφsin2x=cos（2x-φ）
∵f(x)≤f(

π

6

)對x∈R恒成立，
∴f(

π

6

)=1，即cos（2×

π

6

-φ）=1
∴φ-

π

3

=2kπ
∴φ=2kπ+

π

3

，k∈Z
∴f（x）=cos[2x-（2kx+

π

3

）]=cos（2x-

π

3

），
即函數f（x）的解析式為f（x）=cos（2x-

π

3

）
（2）由（1）知，f（x）=cos（2x-

π

3

），
令2x-

π

3

=kπ，k∈Z，得x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
∴f（x）的對稱軸為x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
∵2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+π，k∈Z，
kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，
故函數f（x）的單調遞減區間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z，

點評：本題考查向量知識的運用，考查三角函數性質，考查學生計算能力，屬于中檔題．