Question

已知函數（、為常數），在時取得極值．
（1）求實數的取值范圍；
（2）當時，關于的方程有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍；
（3）數列滿足（且），，數列的前項和為，
求證：（,是自然對數的底）．

Answer 1

（1）且；（2）；（3）詳見解析．

試題分析：（1）求實數的取值范圍，因為函數在時取得極值，故在有定義，得，可對函數求導得，，則是的根，這樣可得的關系是，再由的范圍可求得的取值范圍；（2）當時，關于的方程有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍，當時，由得，代入得 ，對求導，判斷單調性，即可得函數的最小值；（3）求證：，即證，因此需求出數列的通項公式及前項和為，由數列滿足（且），，得，即，可求得，它的前項和為不好求，由此可利用式子中出現代換，由（2）知，令得，，取，疊加可證得結論．
試題解析：（1） ∵在有定義 ∴
∴是方程的根，且不是重根
∴ 且 又 ∵ ∴且          4分
（2）時   即方程在上有兩個不等實根
即方程在上有兩個不等實根
令 
 
∴在上單調遞減，在上單調遞增 
當時，且當時，
∴當時，方程有兩個不相等的實數根           8分
（3）   ∴     ∴    ∴ 
∴                     10分
由（2）知  
代 得 即
∴



累加得

即      ∴   得證        14分