Question

【題目】如圖1，四邊形中， ， ，將四邊形沿著折疊，得到圖2所示的三棱錐，其中．

（1）證明：平面平面；

（2）若為中點，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）.

【解析】試題分析: (1)由面面垂直的判定定理得出證明; (2)以E為原點,建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各點坐標(biāo),設(shè) ,由,求出 ,求出平面 的一個法向量,由已知條件找出平面 的一個法向量,利用公式求出二面角的余弦值.

試題解析:（Ⅰ）因為且，可得為等腰直角三角形，

則，又，且平面， ，

故平面，又平面，

所以平面平面.

（Ⅱ）以為原點，以的方向為軸正方向， 的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

過點作平面的垂線，垂足為，根據(jù)對稱性，顯然點在軸上，設(shè).由題設(shè)條件可得下列坐標(biāo)： ， ， ， ， ， .， ，由于，所以，解得，則點坐標(biāo)為. 由于， ，設(shè)平面的法向量，

由及得

令，由此可得.

由于， ，則為平面的一個法向量，

則，

因為二面角為銳角，

則二面角的余弦值為.