【題目】已知函數
， 
(
為自然對數的底數).
(1)設曲線
在
處的切線為
，若
與點
的距離為
，求
的值；
(2)若對于任意實數
， 
恒成立，試確定
的取值范圍；
(3)當
時，函數
在
上是否存在極值？若存在，請求出極值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1) 
或
(2) 
(3)不存在
【解析】試題分析：
(1)該問切點橫坐標已知,則利用切點在曲線上,帶入曲線
即可得到切點的縱坐標,對
進行求導并得到在切點處的導函數值即為切線的斜率,有切線的斜率,切線又過切點,利用直線的點斜式即可求的切線的方程,利用點到直線的距離公式結合條件點
到切線的距離為
即可求的參數
的值.
(2)該問為恒成立問題可以考慮分離參數法,即把參數a與x進行分離得到
,則
,再利用函數的導函數研究函數
在區間
的最大值,即可求的a的取值范圍.
(3)根據極值的定義,函數
在區間
有零點且在零點附近的符號不同,求導可得
,設
,求
求導可以得到
的導函數在區間
恒為正數,則函數
在區間
上是單調遞增,即可得到函數
進而得到
恒成立,即
在區間
上沒有零點,進而函數
沒有極值.
試題解析：
（1）
, 
.
在
處的切線斜率為
， 1分
∴切線
的方程為
，即
. 3分
又切線
與點
距離為
,所以
，
解之得， 
或
5分
（2）∵對于任意實數
恒成立，
∴若
，則
為任意實數時， 
恒成立； 6分
若
恒成立，即
，在
上恒成立， 7分
設
則
, 8分
當
時， 
，則
在
上單調遞增；
當
時， 
，則
在
上單調遞減；
所以當
時， 
取得最大值， 
， 9分
所以
的取值范圍為
.
綜上，對于任意實數
恒成立的實數
的取值范圍為
. 10分
（3）依題意, 
，
所以
, 2分
設
,則
,當
,
故
在
上單調增函數,因此
在
上的最小值為
，
即
， 12分
又
所以在
上， 
，
即
在
上不存在極值. 14分
星級口算天天練系列答案
芒果教輔達標測試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知橢圓
： 
的離心率為
， 
為橢圓
的右焦點， 
， 
.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）設
為原點， 
為橢圓上一點， 
的中點為
，直線
與直線
交于點
，過
作
，交直線
于點
，求證： 
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點， 
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線
的極坐標方程為
，過點
的直線
的參數方程為
（
為參數），直線
與曲線
相交于
兩點．
（1）寫出曲線
的直角坐標方程和直線
的普通方程；
（2）若
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩企業生產同一種型號零件，按規定該型號零件的質量指標值落在
內為優質品.從兩個企業生產的零件中各隨機抽出了500件，測量這些零件的質量指標值，得結果如下表：
甲企業：
乙企業：
（1）已知甲企業的500件零件質量指標值的樣本方差
，該企業生產的零件質量指標值
服從正態分布
，其中
近似為質量指標值的樣本平均數
（注：求
時，同一組數據用該區間的中點值作代表），
近似為樣本方差
，試根據該企業的抽樣數據，估計所生產的零件中，質量指標值不低于71.92的產品的概率.（精確到0.001）
（2）由以上統計數據完成下面
列聯表，并問能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為“兩個分廠生產的零件的質量有差異”.
附注：
參考數據： 
，
參考公式： 
， 
，
.
| 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
（
， 
）展開式的前三項的二項式系數之和為16，所有項的系數之和為1.
（1）求
和
的值；
（2）展開式中是否存在常數項？若有，求出常數項；若沒有，請說明理由；
（3）求展開式中二項式系數最大的項.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】近幾年來，我國許多地區經常出現干旱現象，為抗旱經常要進行人工降雨，現由天氣預報得知，某地在未來5天的指定時間的降雨概率是：前3天均為
，后2天均為
，5天內任何一天的該指定時間沒有降雨，則在當天實行人工降雨，否則，當天不實施人工降雨.
(1)求至少有1天需要人工降雨的概率；
(2)求不需要人工降雨的天數
的分布列和期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了弘揚民族文化，某校舉行了“我愛國學，傳誦經典”考試，并從中隨機抽取了100名考生的成績（得分均為整數,滿足100分）進行統計制表，其中成績不低于80分的考生被評為優秀生，請根據頻率分布表中所提供的數據，用頻率估計概率，回答下列問題.
分組 | 頻數 | 頻率 |
| 5 | 0.05 |
|
| 0.20 |
| 35 |
|
| 25 | 0.25 |
| 15 | 0.15 |
合計 | 100 | 1.00 |
（1）求
的值及隨機抽取一考生恰為優秀生的概率；
（2）按頻率分布表中的成績分組，采用分層抽樣抽取20人參加學校的“我愛國學”宣傳活動，求其中優秀生的人數；
（3）在第（2）問抽取的優秀生中指派2名學生擔任負責人，求至少一人的成績在
的概率.
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