Question

小型風力發電項目投資較少，開發前景廣闊．受風力自然資源影響，項目投資存在一定風險．根據測算，IEC（國際電工委員會）風能風區分類標準如下：

風能分類	一類風區	二類風區
平均風速m/s	8.5--10	6.5--8.5

某公司計劃用不超過100萬元的資金投資于A、B兩個小型風能發電項目．調研結果是，未來一年內，位于一類風區的A項目獲利40%的可能性為0.6，虧損20%的可能性為0.4；B項目位于二類風區，獲利35%的可能性為0.6，虧損10%的可能性是0.2，不賠不賺的可能性是0.2．假設投資A項目的資金為x（x≥0）萬元，投資B項目資金為y（y≥0）萬元，且公司要求對A項目的投資不得低于B項目．
（Ⅰ）請根據公司投資限制條件，寫出x，y滿足的條件，并將它們表示在平面xOy內；
（Ⅱ）記投資A，B項目的利潤分別為ξ和η，試寫出隨機變量ξ與η的分布列和期望Eξ，Eη；
（Ⅲ）根據（Ⅰ）的條件和市場調研，試估計一年后兩個項目的平均利潤之和z=Eξ+Eη的最大值，并據此給出公司分配投資金額建議．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意，公司計劃用不超過100萬元的資金投資于A、B兩個小型風能發電項目，公司要求對A項目的投資不得低于B項目可得，表示的區域如圖所示；

（Ⅱ）隨機變量ξ的分布列為

ξ	0.4x	-0.2x
P	0.6	0.4

∴Eξ=0.24x-0.08x=0.16x；
隨機變量η的分布列為

η	0.35y	-0.1y	0
P	0.6	0.2	0.2

∴Eη=0.21y-0.02y=0.19y；
（Ⅲ）z=Eξ+Eη=0.16x+0.19y
由可得x=y=50
根據圖象，可得x=y=50時，估計一年后兩個項目的平均利潤之和z=Eξ+Eη的最大值為17.5萬元．
分析：（Ⅰ）根據公司計劃用不超過100萬元的資金投資于A、B兩個小型風能發電項目，公司要求對A項目的投資不得低于B項目，可得x，y滿足的條件，從而可得平面區域；
（Ⅱ）利用未來一年內，位于一類風區的A項目獲利40%的可能性為0.6，虧損20%的可能性為0.4；B項目位于二類風區，獲利35%的可能性為0.6，虧損10%的可能性是0.2，不賠不賺的可能性是0.2，可得隨機變量ξ與η的分布列和期望Eξ，Eη；
（Ⅲ）利用平面區域，即可求得一年后兩個項目的平均利潤之和z=Eξ+Eη的最大值．
點評：本題考查線性規劃知識，考查隨機變量ξ與η的分布列和期望，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．