Question

如圖所示，矩形ABCD的邊AB＝a，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2，現有數據：①a＝；②a＝1；③a＝；④a＝2；⑤a＝4．

(1)當在BC邊上存在點Q，使PQ⊥QD時，a可以取所給數據中的哪些值？請說明理由；

(2)在滿足(1)的條件下，a取所給數據中的最大值時，求直線PQ與平面ADP所成角的正切值；

(3)記滿足(1)的條件下的Q點為Q_n(n＝1，2，3，…)，若a取所給數據中的最小值時，這樣的點Q_n有幾個？試求二面角Q_n－PA－Q_n+1的大小．

Answer 1

答案：
解析：

探究：(1)建立如圖所示空間直角坐標系，則A(0，0，0)，P(0，0，2)，D(0，2，0)， 　　設Q(a，x，0)(|BQ|＝x，0≤x≤2)， 　　于是有＝(a，x，－2)，＝(－a，2－x，0)． 　　由PQ⊥QD，得·＝－a2＋x(2－x)－2×0＝0， 　　即x2－2x＋a＝0， 　　此方程有解，則Δ＝4－4a2≥0，∴0≤a≤1． 　　當a＝時，方程的解x＝或x＝，滿足0≤x≤2； 　　當a＝1時，方程的解x＝1，也滿足0≤x≤2． 　　因此，滿足條件的a的取值為a＝或a＝1． 　　(2)顯然，在滿足(1)的條件下，a取所給數據中的最大值時，a＝1，此時，由(1)知x＝1，Q(1，1，0)為BC的中點， 　　作QM⊥AD于M，有QM⊥面PAD，M為AD的中點， 　　連接PM，則∠QPM即為PQ與平面PAD所成的角． 　　在Rt△QMP中，QM＝1，PM＝， 　　∴tan∠QPM＝， 　　即直線PQ與平面ADP所成角的正切值為． 　　(3)在滿足(1)的條件下，a取所給數據中的最小值時，a＝，由(1)知，此時x＝或x＝， 　　∴滿足條件的點Q有兩個：Q1(，，0)，Q2(，，0)． 　　此時，所求的二面角應為Q1－PA－Q2(如圖所示)． 　　∵PA⊥面ABCD， 　　∴PA⊥Q1A，PA⊥Q2A， 　　∴∠Q1AQ2即為所求二面角的平面角， 　　 　　規律總結：一般來說，設存在這樣的點，然后設出此點的空間坐標，轉化為代數上的方程是否有解問題，若有解，則存在這樣的點，否則，不存在．