Question

已知函數f(x)=

1

3

x3+mx2-3m2x+1，m∈R．
（1）當m=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）若f（x）在區間（-2，3）上是減函數，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把m=1代入到f（x）中化簡得到f（x）的解析式，求出f'（x），因為曲線的切點為（2，f（2）），所以把x=2代入到f'（x）中求出切線的斜率，把x=2代入到f（x）中求出f（2）的值得到切點坐標，根據切點和斜率寫出切線方程即可；
（2）已知f（x）在區間（-2，3）上是減函數，即f′（x）≤0在區間（-2，3）上恒成立，然后用導數求f（x）的單調遞減區間，再對m進行分類討論建立關于m的不等關系解之即可得到m的取值范圍．

解答：解：（1）當m=1時，f(x)=

1

3

x3+x2-3x+1，
又f'（x）=x²+2x-3，所以f'（2）=5．
又f(2)=

5

3

，
所以所求切線方程為 y-

5

3

=5(x-2)，即15x-3y-25=0．
所以曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為15x-3y-25=0．…（6分）
（2）因為f'（x）=x²+2mx-3m²，
令f'（x）=0，得x=-3m或x=m．…（8分）
當m=0時，f'（x）=x²≥0恒成立，不符合題意．…（9分）
當m＞0時，f（x）的單調遞減區間是（-3m，m），若f（x）在區間（-2，3）上是減函數，
則

-3m≤-2 m≥3.

解得m≥3．…（11分）
當m＜0時，f（x）的單調遞減區間是（m，-3m），若f（x）在區間（-2，3）上是減函數，
則

m≤-2 -3m≥3.

，解得m≤-2．
綜上所述，實數m的取值范圍是m≥3或m≤-2．…（13分）

點評：考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數研究函數的單調性以及根據函數的增減性得到函數的極值．靈活運用分類討論的數學思想解決數學問題．本題考查利用導數研究函數的極值，導數的引入，為研究高次函數的極值與最值帶來了方便．