Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a1=a≠

1

4

，且an+1=

1 2 an，n為偶數(shù) an+ 1 4 ，n為奇數(shù)

記bn=a2n-1-

1

4

，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，a₅；
（Ⅱ）判斷數(shù)列{b_n}是否為等比數(shù)列，并證明你的判斷．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)an+1=

1 2 an，n為偶數(shù) an+ 1 4 ，n為奇數(shù)

，一一代入可求；
（Ⅱ）先通過求出前幾項(xiàng)，猜想：{b_n}是公比為

1

2

的等比數(shù)列，再進(jìn)行證明．

解答：解：（Ⅰ）a2=a1+

1

4

=a+

1

4

，a3=

1

2

a2=

1

2

a+

1

8

．a4=a3+

1

4

=

1

2

a+

3

8

，a5=

1

2

a4=

1

4

a+

3

16

．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b1=a1-

1

4

=a-

1

4

，b2=a3-

1

4

=

1

2

(a-

1

4

)，b3=a5-

1

4

=

1

4

(a-

1

4

)．
猜想：{b_n}是公比為

1

2

的等比數(shù)列．
證明如下：因?yàn)?span id="b8vd21v" class="MathJye">bn+1=a2n+1-

1

4

=

1

2

a2n-

1

4

=

1

2

(a2n-1-

1

4

)=

1

2

bn(n∈N*)，
又a≠

1

4

，所以b1=a-

1

4

≠0，
所以數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為a-

1

4

，公比為

1

2

的等比數(shù)列．…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)的求解與運(yùn)用，考查等比數(shù)列的證明，屬于基礎(chǔ)題．