Question

【題目】如圖，在四棱錐中， 平面, ，，，,是線段的中點.

（1）證明：平面

（2）當為何值時，四棱錐的體積最大？并求此最大值

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）當PA＝4時，體積最大值為16．

【解析】

（1）取PD中點N，易證MNCB為平行四邊形，進而得BM，CN平行，得證；

（2）設PA＝x（0），把體積表示為關于x的函數，借助不等式求得最大值．

（1）取PD中點N，連接MN，CN，

∵M是AP的中點，

∴MN∥AD且MN，

∵AD∥BC，AD＝2BC，

∴MN∥BC，MN＝BC，

∴四邊形MNCB是平行四邊形，

∴MB∥CN，

又BM平面PCD，CN平面PCD，

∴BM∥平面PCD；

（2）設PA＝x（0＜x＜4），

∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥AB，

∵，

∴AB，

又∵AB⊥AD，AD＝2BC＝4，

∴VP﹣ABCD

＝16，

當且僅當x，即x＝4時取等號，

故當PA＝4時，四棱錐P﹣ABCD的體積最大，最大值為16．