Question

如圖示，已知平行四邊形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=1，M是線段EF的中點．
（1）求證：AC⊥BF；
（2）設二面角A-FD-B的大小為θ，求sinθ的值；
（3）設點P為一動點，若點P從M出發，沿棱按照M→E→C的路線運動到點C，求這一過程中形成的三棱錐P-BFD的體積的最小值．

Answer 1

分析：（1）要證線線垂直，只需要證明線面垂直，即證AC⊥平面ABF，再利用線面垂直的判定，即可證得；
（2）設點A在平面BFD內的射影為O，過A作AG⊥DF于G，連接GO，則∠AGO為二面角A-FD-B的平面角．只要求出AO，AG即可求得；
（3）設AC與BD相交于O，則OF∥CM，所以CM∥平面BFD．當點P在M或C時，三棱錐P-BFD的體積最小，故可求．

解答：（1）證明：∵AB=1，BC=AD=2，∠ADC=60°，
∴AC²=1+4-2×1×2×cos60°=3
∴AC=

3

，
又∵AB=1，BC=2
∴∠BAC=∠ACD=

π

2

，
∴AC⊥AB
又AF⊥AC，AB∩AF=A
∴AC⊥平面ABF，
又∵BF?平面ABF，
∴AC⊥BF．（4分）
（2）解：∵AB=1，AD=2，∠BAD=120°，
∴BD²=1+4-2×1×2×cos120°=7
∴BD=

7

∵AF=1，AB=1，AF⊥AB
∴△ABF是直角三角形，且BF=

2

∵AF=1，AD=2，AF⊥AD
∴DF=

5

，
∵BD=

7

，BF=

2

，DF=

5

，
∴∠BFD=90°．
設點A在平面BFD內的射影為O，過A作AG⊥DF于G，連接GO，則∠AGO為二面角A-FD-B的平面角．
即∠AGO=θ，
在△ADF中，由等面積法求得AG=

AF×AD

DF

=

2

5

，
由等體積法，V_A-BDF=V_F-ABD
∴

1

3

×

1

2

×

2

×

5

×AO=

1

3

×

1

2

×1×2×1×sin120°
∴點A到平面BFD的距離是AO=

30

10

，
所以sin∠AGO=

6

4

，即sinθ=

6

4

（8分）
（3）解：設AC與BD相交于O，則OF∥CM，
所以CM∥平面BFD．
當點P在M或C時，三棱錐P-BFD的體積最小，(VP-BFD)min=VC-BFD=VF-BCD=

1

3

•

1

2

•2•1•sin120°•1=

3

6

．（12分）

點評：本題重點考查線面垂直的判定與性質，考查面面角，考查三棱錐體積的計算，考查轉化問題的能力，綜合性強．