Question

已知雙曲線的中心在原點，焦點在坐標軸上，點到其漸近線的距離為.若過點作斜率為的直線交雙曲線于兩點，交軸于點，且是與的等比中項，則雙曲線的半焦距為__________.

Answer 1

或

解析:

設漸近線的方程為，由題設得，解得，雙曲線的漸近線方程為，故可設雙曲線的方程為  .

設，直線的方程為，代入雙曲線方程消去，得.

當，即時，上面的方程恰有兩實根，且.

由題設可知，，可化為，即，即，解得或.

因此，雙曲線的方程為或，即或.

所以雙曲線的半焦距為或.