Question

求證：3ⁿ＞（n+2）2^n-1（n∈N^*，且n＞2）

Answer 1

分析：把3ⁿ =（1+2）ⁿ按二項式定理展開，在進行放縮，即可證得不等式成立．

解答：證明：∵3n=(1+2)n=1+2

C

1 n

+22

C

2 n

+…+2n-1

C

n-1 n

+2n

C

n n

，
又∵n∈N^*，且n＞2
∴展開式至少有4項，
∴3n=(1+2)n＞2n-1

C

n-1 n

+2n

C

n n

=n2n-1+2n=(n+2)2n-1，
故不等式成立．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，用放縮法證明不等式，屬于中檔題．