Question

如圖所示：在底面為直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，E、F分別為SA、SC的中點．如果AB=BC=2，AD=1，SB與底面ABCD成60°角．
（1）求異面直線EF與CD所成角的大小（用反三角形式表示）；
（2）求點D到平面SBC的距離．

Answer 1

分析：（1）法一：連接AC，則∠ACD即為異面直線EF與CD所成角，然后利用余弦定理求出此角的余弦值，最后用反三角表示即可．
法二：以A為坐標原點，AD、BA、AS方向為正方向建立坐標系，求出異面直線EF與CD的方向向量，利用向量的夾角公式求出夾角即可；
（2）由于SA⊥平面ABCD，所以∠SBA即為斜線SB與底面ABCD所成角60°，然后根據等體積法建立等式關系

1

3

SBCD×SA=

1

3

S△SBC×h，求出h即為點D到平面SBC的距離．

解答：解：（1）連接AC，則∠ACD即為異面直線EF與CD所成角．
計算得：AC=2

2

，CD=

5

   cos∠ACD=

3 10

10

，
所以異面直線 EF與CD成arccos

3 10

10

角．
另解：以A為坐標原點，AD、BA、AS方向為正方向建立坐標系
計算SA=2

3

   

FE

=(1，-1，0)、

CD

=(2，-1，0)
計算得cosα=

3 10

10

，所以異面直線 EF與CD成arccos

3 10

10

角
（2）由于SA⊥平面ABCD，所以∠SBA即為斜線SB與底面ABCD所成角60°
計算得：SA=2

3

，SB=4，S△SBC=4S_△BCD=2
由于

1

3

SBCD×SA=

1

3

S△SBC×h
所以h=

3

點評：本題主要考查了兩異面直線所成角，以及利用等體積法求點到平面的距離，屬于中檔題．