Question

（滿分１5分）設(shè)函數(shù)，，（其中為自然底數(shù)）；

（Ⅰ）求（）的最小值；

（Ⅱ）探究是否存在一次函數(shù)使得且對(duì)一切恒成立；若存在，求出一次函數(shù)的表達(dá)式，若不存在，說(shuō)明理由；

（Ⅲ）數(shù)列中，，，求證：。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）0（Ⅱ）存在符合要求,理由見解析（Ⅲ）先證遞減且，再利用放縮不等式證明

【解析】

試題分析：（Ⅰ）時(shí)，

易知時(shí)、時(shí)；

所以時(shí)求取最小值等于0；                          ……4分

（Ⅱ）由題Ⅰ易知，，所以；                   ……6分

所以可設(shè)，代入

得恒成立，所以，

所以，；                                                  ……8分

此時(shí)設(shè)，

則，易知，即對(duì)一切恒成立；

綜上，存在符合要求，它恰好是圖象的公切線.  ……10分

（Ⅲ）先證遞減且；

由題（Ⅱ）知，所以，即為遞減數(shù)列；

又，，所以，…

因?yàn)楫?dāng)時(shí)總有，

所以；                                  ……13分

所以

.                                            ……15分

考點(diǎn)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求最值、利用導(dǎo)數(shù)求解和恒成立問(wèn)題和利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的性質(zhì)如單調(diào)性、極值、最值等的有力工具，有時(shí)也用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決實(shí)際應(yīng)用題，要注意研究導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的時(shí)候不要忘記函數(shù)的定義域.