Question

根據我國汽車制造的現實情況，一般卡車高3 m，寬1.6 m．現要設計橫斷面為拋物線型的雙向二車道的公路隧道，為保障雙向行駛安全，交通管理規定汽車進入隧道后必須保持距中線0.4 m的距離行駛．已知拱口AB寬恰好是拱高OC的4倍，若拱寬為a m，求能使卡車安全通過的a的最小整數值．

Answer 1

分析：根據問題的實際意義，卡車通過隧道時應以卡車沿著距隧道中線0.4m到2m間的道路行駛為最佳路線，因此，卡車能否安全通過，取決于距隧道中線2m（即在橫斷面上距拱口中點2m）處隧道的高度是否夠3m，據此可通過建立坐標系，確定出拋物線的方程后求得．

解答：解：如圖，以拱口AB所在直線為x軸，以拱高OC所在直線為y軸建立直角坐標系，由題意可得拋物線的方程為x²=-2p（y-

a

4

），
∵點A（-

a

2

，0）在拋物線上，
∴（-

a

2

）²=-2p（0-

a

4

），得p=

a

2

．
∴拋物線方程為x²=-a（y-

a

4

）．
取x=1.6+0.4=2，代入拋物線方程，得
2²=-a（y-

a

4

），y=

a2-16

4a

．
由題意，令y＞3，得

a2-16

4a

＞3，
∵a＞0，∴a²-12a-16＞0．
∴a＞6+2

13

．
又∵a∈Z，∴a應取14，15，16，．
答：滿足本題條件使卡車安全通過的a的最小正整數為14m．

點評：本題是拋物線實際應用的經典試題，同學們需注意掌握，此類題一般不難，關鍵是讀準題意，確定好拋物線方程的解析式，再根據拋物線的性質結合題中問題求解．