Question

【題目】若一個四棱錐底面為正方形，頂點在底面的射影為正方形的中心，且該四棱錐的體積為9，當其外接球表面積最小時，它的高為（ ）
A.3
B.2
C.2
D.3

Answer 1

【答案】A
【解析】解：設底面邊長AB=a，棱錐的高SM=h， ∵V棱錐S﹣ABCD= a2h=9，
∴a2= ，
∵正四棱錐內接于球O，
∴O在直線SM上，設球O半徑為R，
（i）若O在線段SM上，如圖一，則OM=SM﹣SO=h﹣R，

（ii）若O在在線段SM的延長線上，如圖二，

則OM=SO﹣SM=R﹣h，
∵SM⊥平面ABCD，
∴△OMB是直角三角形，
∴OM2+MB2=OB2 ，
∵OB=R，MB= BD= a，
∴（h﹣R）2+ =R2 ， 或（R﹣h）2+ =R2
∴2hR=h2+ ，
即R= + = + = ≥3 = ．
當且僅當 = 取等號，
即h=3時R取得最小值 ．
故選：A．
【考點精析】關于本題考查的棱錐的結構特征，需要了解側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方才能得出正確答案．