Question

已知函數f(x)＝2x－，x∈(0，1]．

(1)當a＝－1時，求函數y＝f(x)的值域；

(2)若函數y＝f(x)在x∈(0，1]上是減函數，求實數a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）[2，＋∞)（2）(－∞，－2]

【解析】(1)當a＝－1時，f(x)＝2x＋，

因為0<x≤1，所以f(x)＝2x＋≥2＝2，當且僅當x＝時，等號成立，

所以函數y＝f(x)的值域是[2，＋∞)．

(2)(解法1)設0<x1<x2≤1，

由f(x1)－f(x2)＝＝2(x1－x2)＋＝，

因為函數y＝f(x)在x∈(0，1]上是減函數，

所以f(x1)－f(x2)>0恒成立，

所以2x1x2＋a<0，即a<－2x1x2在x∈(0，1]上恒成立，

所以a≤－2，即實數a的取值范圍是(－∞，－2]．

(解法2)由f(x)＝2x－，知f′(x)＝2＋，

因為函數y＝f(x)在x∈(0，1]上是減函數，

所以f′(x)＝2＋≤0在x∈(0，1]上恒成立，

即a≤－2x2在x∈(0，1]上恒成立，

所以a≤－2，即實數a的取值范圍是(－∞，－2]．