Question

設實數a，b滿足lg（a-1）+lg（b-1）=lg4，則a•b的取值范圍是

[9，+∞）

．

Answer 1

分析：首先由對數的性質可得a＞1、b＞1，結合對數的運算性質可將lg（a-1）+lg（b-1）=lg4變形為ab-（a+b）-3=0，結合基本不等式可得ab-2

ab

-3≥0，運用換元法，令t=

ab

，可得t²-2t-3≥0，解此方程并結合可得t的范圍可得t≥3，轉化可得ab≥9，即可得答案．

解答：解：根據題意，lg（a-1）+lg（b-1）=lg4，有a-1＞0，b-1＞0，即a＞1、b＞1，
lg（a-1）+lg（b-1）=lg4⇒lg（a-1）（b-1）=lg4⇒（a-1）（b-1）=4，
即ab-（a+b）+1=4，變形可得ab-（a+b）-3=0，①
又由a+b≥2

ab

，
將其代入①可得，ab-2

ab

-3≥0，
令t=

ab

，則t＞1，可得t²-2t-3≥0，
解可得t≥3或t≤-1，
又由t＞1，則t≥3，即

ab

≥3，則ab≥9，
則a•b的取值范圍是[9，+∞）；
故答案為[9，+∞）．

點評：本題考查基本不等式的應用，涉及對數運算性質，注意結合對數的性質，分析出a＞1、b＞1．