Question

設函數f(x)＝2x³－3(a－1)x²＋1，其中a≥1.(Ⅰ)求f(x)的單調區間；(Ⅱ)討論f(x)的極值.

Answer 1

(Ⅰ) 函數f(x)在(－∞,0)上單調遞增；在(0,a－1)上單調遞減；在(a－1,＋∞)上單調遞增.   (Ⅱ)   見解析

解析:

由已知得f??(x)＝6x[x－(a－1)]，令f??(x)＝0，解得 x₁＝0,x₂＝a－1，.

（Ⅰ）當a＝1時，f??(x)＝6x²，f(x)在(－∞,＋∞)上單調遞增

當a＞1時，f??(x)＝6x[x－(a－1)]，f??(x),f(x)隨x的變化情況如下表：

x	(－∞,0)	0	(0,a－1)	a－1	(a－1,＋∞)
f??(x)	＋	0		0
f(x)	↗	極大值	↘	極小值	↗

從上表可知，函數f(x)在(－∞,0)上單調遞增；在(0,a－1)上單調遞減；在(a－1,＋∞)上單調遞增.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a＝1時，函數f(x)沒有極值.；當a＞1時，函數f(x)在x＝0處取得極大值，在x＝a－1處取得極小值1－(a－1)³.