Question

函數f(x)=

x2+(1-a2)x-a

x

是奇函數，且在（0，+∞）上單調遞增，則a等于（　　）

A．0

B．1

C．-1

D．±1

Answer 1

分析：利用函數f(x)=

x2+(1-a2)x-a

x

是奇函數，可得f（-x）=-f（x），結合在（0，+∞）上單調遞增，即可求得a的值．

解答：解：f(x)=

x2+(1-a2)x-a

x

=x-

a

x

+(1-a2)
∵函數f(x)=

x2+(1-a2)x-a

x

是奇函數
∴f（-x）=-f（x）
∴-x+

a

x

+(1-a2)=-[x-

a

x

+(1-a2)]
∴1-a²=0
∴a=±1
a=1時，f(x)=x-

1

x

，f′（x）=1+

1

x2

＞0，∴函數在（0，+∞）上單調遞增，
a=-1時，f(x)=x+

1

x

，f′（x）=1-

1

x2

，∴函數在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，
綜上知，a=1
故選B．

點評：本題考查函數的奇偶性與單調性的結合，考查奇函數的定義，屬于中檔題．