Question

已知函數f（x）（x∈R，且x＞0），對于定義域內任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），并且x＞1時，f（x）＞0恒成立．
（1）求f（1）；   
（2）證明方程f（x）=0有且僅有一個實根；
（3）若x∈[1，+∞）時，不等式f（

x2+2x+a

x

）＞0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，根據函數f（x）（x∈R，且x＞0），對于定義域內任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），我們易構造關于f（1）的方程，解方程即可求出求f（1）；   
（2）根據已知中函數f（x）（x∈R，且x＞0），對于定義域內任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），并且x＞1時，f（x）＞0恒成立，我們可以判斷出函數在其定義域內為增函數，結合（1）的結論及單調函數的性質，即可得到結論．
（3）由（2），（1）的結論，我們易將不等式f（

x2+2x+a

x

）＞0轉化為a＞-x²-x在x∈[1，+∞）時恒成立，根據二次函數的性質，我們即可求出實數a的取值范圍．

解答：解：（1）∵定義域內任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，
∴f（1）=2f（1），
∴f（1）=0；（2分）
證明：（2）任取0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，則題意得f（

x2

x1

）＞0
又定義域內任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），∴f（xy）-f（y）=f（x），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＞0
∴f（x₂）＞f（x₁）
∴函數f（x）在其定義域內為增函數，由（1）和f（1）=0，
所以1為方程f（x）=0的一個實根，若還存在一個x₀，且x₀＞0，使得f（x₀）=0，
因為函數f（x）在其定義域內為增函數，必有x₀=1，故方程f（x）=0有且僅有一個實根；（8分）
解：（3）由（2）知函數f（x）在其定義域內為增函數
當x∈[1，+∞）時，不等式f（

x2+2x+a

x

）＞0=f（1）恒成立，即

x2+2x+a

x

＞1恒成立
即x²+2x+a＞x，即a＞-x²-x在x∈[1，+∞）時恒成立
∵-x²-x在x∈[1，+∞）時最大值為-2
∴a＞-2（14分）

點評：本題考查的知識點是抽象函數及其應用，函數單調性的性質，其中（1）的關鍵是“湊配”思想的應用，（2）的關鍵是將f（xy）=f（x）+f（y），變型為f（xy）-f（y）=f（x），從而得到f（x₁）-f（x₂）=f（

x2

x1

），（3）的關鍵是利用函數的單調性對不等式f（

x2+2x+a

x

）＞0進行變形．