Question

（2010•濟南一模）已知函數f（x）=x³-bx²+2cx的導函數的圖象關于直線x=2對稱．
（1）求b的值；
（2）若函數f（x）無極值求c的取值范圍；
（3）若f（x）在x=t處取得極小值，記此極小值為g（t），求g（t）的定義域和值域．

Answer 1

分析：（1）先求導函數，根據導函數的圖象關于直線x=2對稱，可知-

-2b

6

=2，從而可求b的值；
（2）函數f（x）無極值，即導函數為0的方程至多有一解，從而可求c的取值范圍；
（3）由（2）知，c＜6，f'（x）=0有兩個異實根x₁，x₂，不妨設x₁＜x₂，則x₁＜2＜x₂，易得f（x）在x=x₁處取極大值，在x=x₂處取極小值，且x₂＞2，可知函數g（t）的定義域為（2，+∞），根據f'（t）=3t²-12t+2c=0得2c=-3t²+12t．從而可得g（t）=f（t）=t³-6t²+（-3t²+12t）t=-2t³+6t²，再利用函數g（t）在區間（2，+∞）內是減函數，可求函數g（t）的值域．

解答：解：（1）f'（x）=3x²-2bx+2c…（1分）
∵函數f'（x）的圖象關于直線x=2對稱，
∴-

-2b

6

=2，即b=6．…（4分）
（2）由（1）知，f（x）=x³-6x²+2cx，f'（x）=3x²-12x+2c=3（x-2）²+2c-12…（6分）
當c≥6時，f'（x）≥0，此時f（x）無極值   …（8分）
（3）當c＜6時，f'（x）=0有兩個異實根x₁，x₂，不妨設x₁＜x₂，則x₁＜2＜x₂；
當x＜x₁時，f'（x）＞0，f（x）在區間（-∞，x₁）內為增函數；
當x₁＜x＜x₂時，f'（x）＜0，f（x）在區間（x₁，x₂）內為減函數；
當x＞x₂時，f'（x）＞0，f（x）在區間（x₂，+∞）內為增函數．
所以f（x）在x=x₁處取極大值，在x=x₂處取極小值  …（10分）
因此，當且僅當c＜6時，函數f（x）在x=x₂處存在唯一極小值，所以t=x₂＞2
于是g（t）的定義域為（2，+∞），由f'（t）=3t²-12t+2c=0得2c=-3t²+12t．
于是g（t）=f（t）=t³-6t²+（-3t²+12t）t=-2t³+6t²，t∈（2，+∞）…（12分）
當t＞2時，g'（t）=-6t²+12t=-6t（t-2）＜0，所以函數g（t）在區間（2，+∞）內是減函數，
故g（t）的值域為（-∞，8）．…（14分）

點評：本題以導函數為載體，考查導函數的性質，考查利用導數求函數的極值，同時考查了函數的定義域與值域，綜合性強．