Question

18、
甲乙兩運動員進行射擊訓練，已知他們擊中的環數都穩定在7，8，9，10環內，且每次射擊成績互不影響，射擊環數的頻率分布條形圖如下圖所示，若將頻率視為概率，回答下列問題．
（Ⅰ）求甲運動員在一次射擊中擊中9環以上（含9環）的概率；
（Ⅱ）求甲運動員在3次射擊中至少有1次擊中9環以上（含9環）的概率；
（Ⅲ）若甲、乙兩運動員各射擊1次，ξ表示這2次射擊中擊中9環以上（含9環）的次數，求ξ的分布列及Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由圖形可知，一次射擊中甲擊中7，8環的概率均為0.1，擊中9環的概率為0.45，利用對立事件得出擊中10環的概率為1-0.45-0.1-0.1=0.35，從而得出甲擊中9環以上（含9環）的概率即可；
（Ⅱ）設甲運動員在3次射擊中至少有1次擊中9環以上（含9環）為事件A，結合n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率公式即可求甲運動員在3次射擊中至少有1次擊中9環以上（含9環）的概率．
（III）根據題意，ξ表示這2次射擊中擊中9環以上（含9環）的次數的取值是0、1、2，根據互斥事件和相互獨立事件同時發生的概率做出結果分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）由圖形可知，一次射擊中甲擊中7，8環的概率均為0.1，擊中9環的概率為0.45，
又因為他們擊中的環數都穩定在7，8，9，10環內，因此擊中10環的概率為1-0.45-0.1-0.1=0.35，所以甲擊中9環以上（含9環）的概率為0.45+0.35=0.8（或解P=1-0.2=0.8）…（3分）
（Ⅱ）設甲運動員在3次射擊中至少有1次擊中9環以上（含9環）為事件A
則P（A）=C₃¹0.8×0.2²+C₃²0.8²×0.2+C₃³0.8³=0.096+0.384+0.512=0.992（或解P（A）=1-0.2³=0.992）…（8分）
（Ⅲ）由題意可知ξ=0，1，2，由圖可知乙一次射擊擊中9環以上（含9環）的概率為 0.75P（ξ=0）=0.20×0.25=0.05，P（ξ=1）=0.80×0.25+0.75×0.20=0.35P（ξ=2）=0.80×0.75=0.60…（11分）
因此ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P（ξ）	0.05	0.35	0.60

Eξ=0×0.05+1×0.35+2×0.60=1.55…（14分）

點評：考查運用概率知識解決實際問題的能力，相互獨立事件是指，兩事件發生的概率互不影響，而對立事件是指同一次試驗中，不會同時發生的事件，遇到求用至少來表述的事件的概率時，往往先求它的對立事件的概率．